Монастырь был основан в 1357 году митрополитом Киевским Алексием как митрополичий и назван по имени первого игумена – Андроника, ученика Сергия Радонежского.
В 1354 году митрополит Киевский и всея Руси Алексий по пути в Константинополь попал в шторм. Святитель дал обет построить в Москве собор в честь того святого или праздника, в день которого он благополучно достигнет бухты Золотой Рог. Этот день пришелся на празднование Спаса Нерукотворного. В 1356 году, во время повторного пребывания в Константинополе, Алексий привез в Москву икону Спаса Нерукотворного Образа (первая половина XIV века). Она присутствовала при освящении Спасского собора обители 16 августа 1357 года и стала особо почитаемой святыней Андроникова монастыря. 1357 год считается датой основания Андроникова монастыря митрополитом Алексием в Заяузье на великокняжеской земле.
В 1420–1427 годах Спасский собор был перестроен вновь, и белокаменный храм того времени сохранился до наших дней. Игуменом монастыря стал один из любимых учеников преподобного Сергия Радонежского – Андроник. На территории Андроникова монастыря находилось одно из древнейших в Москве братских захоронений. В интерьере Спасского собора уцелели фрагменты фресок, выполненных около 1428 года Андреем Рублёвым, который был иноком Андроникова монастыря. Существует версия, что Андрей Рублёв скончался 17 октября (30 октября по новому стилю) 1428 года во время морового поветрия и был похоронен в монастыре (точное местонахождение могилы неизвестно).
В XIV–XVII веках Андроников монастырь был одним из центров переписки книг. Его рукописное собрание включало значительную часть сочинений Максима Грека. В 1747–1756 годах стены монастыря отстроили в камне. По проекту архитектора Родиона Казакова на месте старой колокольни, над Святыми воротами, возвели новую – высотой 73 м (по высоте она уступала лишь колокольне Ивана Великого). В 1812 году монастырь был разорен французскими войсками. Пожар уничтожил архив обители, сгорел иконостас, а также обрушились барабан и глава Спасского собора.
Монастырь был закрыт в 1918 году. На его территории, как и на территории бывших Ивановского и Новоспасского монастырей, до 1922 года располагался один из первых концентрационных лагерей ВЧК для офицеров и политических противников новой власти. Возрождение архитектурного комплекса началось после войны. В 1947 году (в год 800летия Москвы) инициативная группа во главе с академиком Игорем Грабарём обратилась к Правительству с просьбой создать на территории монастыря Музей древнерусской живописи (в настоящее время – Центральный музей древнерусской культуры и искусства имени Андрея Рублёва). Также в бывшем монастыре располагается Патриаршее подворье.
Расписание богослужений можно посмотреть на сайте монастыря.
Сегодня в музее им. Андрея Рублева действует выставка «Именитые люди». Билеты: до 350 р. На сайте музея можно также записаться на экскурсии по территории и по экспозициям.
На территории музея работает концептуальное кафе «Изразцы», где можно заказать блюда навынос. А в здании собора Архангела Михаила, на первом этаже постоянной экспозиции Музея имени Андрея Рублева, расположен музейный магазин с широким выбором изданий, посвященных древнерусской культуре и искусству.