Николай Александрович родился в купеческом роду Алексеевых, из которого также вышел К. С. Станиславский — его двоюродный брат. Со времён пожара 1812 года Алексеевы базировались у Рогожской заставы, в Алексеевских улицах (позже переименованных в Коммунистические). Мать, урождённая Бостанжогло — из греческого купеческого рода. «Он соединил в себе хитрость и утончённость грека с разнузданностью русской натуры» (Б. Н. Чичерин).
К тридцати годам Николай — во главе Правления торгового и промышленного Товарищества «Владимир Алексеев». Управлял крупными предприятиями в Пушкине, Харькове и Подмосковье. Семейство владело большой «канительной» фабрикой (производство золотых и серебряных нитей). Одновременно он входит в городскую политику: с 1881 года Алексеев — гласный Московской городской думы. В ноябре 1885 года тридцатитрёхлетний Алексеев избран городским головой Москвы.
Современники описывали его так: высокий, плечистый, могучего сложения, с быстрыми движениями, с необычайно громким, звонким голосом, изобиловавшим бодрыми, мажорными нотами, был весь — быстрота, решимость и энергия.
Алексеев повернул хозяйство города на путь независимого от имперской власти, муниципального развития. Для этого были нужны собственные источники доходов (налоговые поступления составляли не более трети бюджета), и Алексеев проявил талант управленца в создании таких источников, в управлении муниципальной собственностью. По инициативе Алексеева город создавал коммерческие муниципальные предприятия, которые строились на заёмные деньги, начиная с 1887 года. В 1892 город выпустил облигационный заём на сумму, примерно равную годовому доходу (7 млн. руб.). Муниципальные предприятия в целом вышли на прибыль только во второй половине 1890-х гг, после гибели Алексеева, а к 1913 году их вклад в бюджет достиг 55 % доходной части.
При нем вышел Закон, запрещавший в черте Садового кольца возведение или ремонт деревянных построек, что ускорило обновление на каменные.
Алексеев также консолидировал воедино инициативы московских благотворителей, начиная с самого себя, и направлял их на первоочередные нужды города. Принимал энергичное участие в совещании генерал-губернатора великого князя Сергея Александровича по сбору пожертвований на организацию помощи голодающим в результате крупного неурожая 1892 года в восточных губерниях страны, от чего возникли слухи, что он займёт пост министра торговли. От жалованья (12 000 рублей в год) он отказался. За десятилетие (1887—1897) доходы города выросли с 4,7 до 10,8 млн. руб., а дефицит сократился с 1,3 млн. руб. до нуля. Прирост доходов позволил приступить к давно необходимой модернизации коммунального хозяйства.
Важнейшей постройкой по инициативе Алексеева стали московский водопровод и канализация. Ранее вода из Мытищинского водопровода поступала самотёком к водоразборным фонтанам. В 1883 году Дума передала строительство водопровода концессионерам, но этот проект провалился. При Алексееве город самостоятельно выстроил насосные станции, позволившие довести водопровод до каждого дома, и реконструировал магистральные водоводы. Две напорные башни у Крестовской заставы (впоследствии уничтоженные) были оплачены Алексеевым лично.
По инициативе Алексеева все скотобойни были выведены из города и сконцентрированы в Калитниках (нынешний Микояновский мясокомбинат). Завершена постройка Исторического музея (архитектор Владимир Шервуд), и построено здание Городской думы по проекту архитектора Дмитрия Чичагова (впоследствии Музей Ленина).
Николай Александрович являлся попечителем нескольких начальных учебных заведений, директором Попечительного о тюрьмах комитета, директором Русского музыкального общества, казначеем Дамского комитета Общества Красного Креста. При нём в городе было выстроено 30 городских училищ. Именно при Алексееве (1892) П. М. Третьяков передал в дар городу коллекцию своей галереи.
В бытность его городской головой Московская Дума положительно решила вопрос о предоставлении земли под строительство университетских клиник на Девичьем поле и Музея изящных искусств. Состоял почётным членом Общества для пособия нуждающимся студентам Московского университета. В 1890 году предоставил капитал на учреждение в Московском университете благотворительной стипендии имени князя В. А. Долгорукова.
Алексееву принадлежит инициатива строительства московской психиатрической больницы № 1. Деньги собирались по подписке с московских благотворителей. Существует легенда, что один из купцов (предположительно, Ермаков) заявил Алексееву: «Поклонись при всех в ноги — дам миллион (по другим источникам — триста тысяч) на больницу». Алексеев так и сделал — и получил деньги. Для строительства был приобретён земельный участок за Серпуховской заставой у купца Канатчикова (отсюда «Канатчикова дача»), а на деньги Ермакова был позже выстроен Ермаковский корпус.
Именно душевнобольной застрелил Алексеева 9 марта 1893 года в его думском кабинете выстрелом в живот. Более суток врачи боролись за жизнь московского градоначальника. Умирая, Н. А. Алексеев завещал 300 000 рублей на содержание больницы. Две первые очереди Алексеевской больницы открылись после его гибели — в 1894 и 1896 годах. Алексеев был похоронен в Новоспасском монастыре; в советские времена его могилу, как и всё монастырское кладбище, уничтожили.
Александра Владимировна, вдова Николая Александровича, унаследовала его место в руководстве предприятиями Алексеевых и также выделяла средства на благотворительность, входила в попечительские советы московских школ и больниц. Всего супруги Алексеевы передали на благотворительность свыше двух миллионов рублей.
