Родился в Ялуторовске Тобольской губернии. Четвертый сын купца Ивана Федоровича Мамонтова и Марии Тихоновны, урожденной Лахтиной. Состоял в родстве со многими известными купеческими семьями России: Алексеевыми, Сапожниковыми, Третьяковыми, Якунчиковыми и т.д.
Детство провел в различных российских городах, где торговал его отец. Образование получил во 2-й московской гимназии, затем с 1854 года в Петербургском институте корпуса гражданских инженеров. Но в 1857 году Мамонтов покинул институт и продолжил обучение во 2-й московской гимназии. А с 1860 года на юридическом факультете Московского университета.
С 1862 года по желанию отца вел дела семьи в Баку. Несколько лет прожил в Италии, занимаясь пением и изучая историю искусств.
Составил огромный капитал на железнодорожном строительстве. Мамонтову принадлежит заслуга постройки дорог Ярославль-Архангельск и Донецкой каменноугольной железной дороги. Главный акционер общества Московско-Ярославско-Архангельской железной дороги, Товарищества Невского механического завода, Общества Восточно-Сибирских чугуноплавильных заводов.
С 1865 года женат на Елизавете Григорьевне Сапожниковой. Имел пятерых детей. Дочерей: Александру; Веру – замужем за Александром Дмитриевичем Самариным. И сыновей: Сергея – писателя; Андрея – художника; Всеволода. Из первых букв имен детей Мамонтова составляется его имя «Савва».
В 1894 году по приглашению министра С.Ю. Витте принял участие в экспедиции вокруг Кольского полуострова, результатом которой явилось получение концессии на продление железной дороги от Вологды до Архангельска.
В своем имении Абрамцево организовал художественный кружок и предоставлял художникам все условия для творчества. В усадьбе подолгу работали такие художники как В.А. Серов, В.М. Васнецов, К.А. Коровин, М.А. Врубель и многие другие. Художники прозвали Мамонтова «московским Лоренцо Медичи». В.М. Васнецов писал: «В нем была какая-то электрическая струя, зажигающая энергию окружающих. Бог дал ему особый дар возбуждать творчество других».
Савва Иванович занимался скульптурой, увлекался театром. В 1885 году основал на свои средства Московскую частную русскую оперу. Собрал уникальную коллекцию произведений русских художников. Финансировал журнал «Мир искусства», материально поддерживал строительство в Москве Музея изящных искусств.
В 1899 году Мамонтов разорился. Его обвинили в растрате денег Ярославской железной дороги, он был арестован и заключен в Таганскую тюрьму, где провел полгода. Современники отмечали выдержку Мамонтова в это тяжелое время. В тюрьме он занимался своим любимым делом – скульптурой. Савва Иванович был оправдан, но после суда все его имущество было распродано для погашения долгов.
С 1900 года жил на окраине Москвы у созданного им гончарного завода «Абрамцево», занимаясь керамикой. Умер там же. Погребен в Абрамцево у Спасской церкви.
